多くのオゾン発生器にオゾン水生成機能は付いていますか？

いいえ。
本来、オゾン発生器の役割はオゾンを生成し、空間に気体放出することです。通常は、「オゾン発生器」と「オゾン水生成器」は別々の機器になりますが、一部の多機能モデルだとオゾン水生成機能が付いている製品があります。

私が使用しているオゾンクラスター1400とオースリークリア3は、両機ともオゾン水生成機能が付いていますので、この製品に興味があれば下記のまとめ記事をお読み下さい。

オゾンクラスター1400の口コミや評判・特徴をまとめました
オースリークリア3の口コミや評判・特徴をまとめました